Dla \( \Omega = \left(x_l, x_r\right) \subset {\cal R} \)
\( L^2(\Omega) = \{ v:\Omega \rightarrow {\cal R} : \int_{\Omega} v(x)^2 dx < \infty \} \)
wraz z normą \( \|u\|_{L^2(\Omega)}^2 = \int_{\Omega} u(x)^2 dx \)
i iloczynem skalarnym \( \left(u,v\right) L^2(\Omega) =\int_{\Omega} u(x)v(x) dx \)
\( H^1(\Omega) = \{v:\Omega \rightarrow {\cal R} : \int_{\Omega} v(x)^2+\frac{dv(x)}{dx}^2 dx < \infty \} \)
gdzie pochodna \( \frac{dv(x)}{dx} \) rozumiana jest w słabym sensie, to znaczy definiujemy ją poprzez wzór na całkowanie przez częsci \( \int_{\Omega} u\frac{dv(x)}{dx} dx = - \int_{\Omega} \frac{du(x)}{dx} v dx \) dla wszystkich "smukłych" funkcji \( u \in C^\infty_0(\Omega) = \{v:\Omega \rightarrow {\cal R} : \int_{\Omega} v(x)^2+\frac{dv(x)}{dx}^2 dx < \infty \} \) nieskończenie wiele razy różniczkowalnych określonych na domkniętych poprzedziałach \( (a,b) \subset \Omega \).
W przestrzeni \( H^1(\Omega) \) definiujemy normę \( \|u\|_{H^1(\Omega)}^2 = \int_{\Omega} u(x)^2+\frac{du(x)}{dx}^2 dx \) i iloczyn skalarnym \( \left(u,v\right)_{H^1(\Omega)} =\int_{\Omega} u(x)v(x)+\frac{du(x)}{dx}\frac{dv(x)}{dx} dx \)
\( H^1_0(\Omega) = \{v:\Omega \rightarrow {\cal R} : \int_{\Omega} v(x)^2+\frac{dv(x)}{dx}^2 dx < \infty; v(0)=0 \} \)
wraz z normą \( \|u\|_{H_0^1(\Omega)}^2 = \int_{\Omega} \frac{du(x)}{dx}^2 dx \)
i iloczynem skalarnym \( \left(u,v\right) H_0^1(\Omega) =\int_{\Omega} \frac{du(x)}{dx}\frac{dv(x)}{dx} dx \)

Dla \( \Omega \subset {\cal R}^2 \)
\( L^2(\Omega) = \{ v:\Omega \rightarrow {\cal R} : \int_{\Omega} v(x_1,x_2)^2 dx_1dx_2 < \infty \} \)
wraz z normą \( \|u\|^2_{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} v(x_1,x_2)^2 dx_1dx_2 \)
i iloczynem skalarnym \( \left(u,v\right)_{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} u(x_1,x_2)v(x_1,x_2) dx_1dx_2 \)
\( H^1(\Omega) = \{v:\Omega \rightarrow {\cal R} : \int_{\Omega} (v(x_1,x_2)^2+\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_1}^2+\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_2}^2 )dx_1dx_2 < \infty \} \) gdzie pochodne
\( \frac{dv(x_1,x_2)}{dx_i},i=1,2 \) rozumiemy w sensie słabym
\( \int_\Omega u(x_1,x_2) \frac{dv(x_1,x_2)}{dx_i} dx_1 dx_2= - \int_\Omega \frac{du(x_1,x_2)}{dx_i} v(x_1,x_2) dx_1 dx_2 \). Innymi słowy są one definiowane za pomocą całkowania przez części z funkcjami gładkimi \( u \in C^\infty_0(\Omega) \) nieskończenie wiele razy różniczkowalnymi określonymi na obszarze zwartym zawartym w \( \Omega \).
W przestrzeni
\( H^1(\Omega) \) definiujemy normę \( \|u\|^2_{H^1(\Omega)} = \int_{\Omega} \left( u(x_1,x_2)^2+\frac{du(x_1,x_2)}{dx_1}^2+\frac{du(x_1,x_2)}{dx_2}^2\right) dx_1dx_2 \)
i iloczyn skalarny \( \left(u,v\right)_{H^1(\Omega)} = \int_{\Omega} \left( u(x_1,x_2)v(x_1,x_2) +\frac{du(x_1,x_2)}{dx_1}\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_1}+\frac{du(x_1,x_2)}{dx_2}\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_2}\right)dx_1dx_2 \).
\( H^1_0(\Omega) = \{v:\Omega \rightarrow {\cal R} : \int_{\Omega} (v(x_1,x_2)^2+\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_1}^2+\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_2}^2) dx_1dx_2 < \infty, tr v(x_1,x_2)=0 \} \)
wraz z normą \( \|u\|^2_{H^1_0(\Omega)} = \int_{\Omega} \left( \frac{du(x_1,x_2)}{dx_1}^2+\frac{du(x_1,x_2)}{dx_2}^2\right) dx_1dx_2 \)
i iloczynem skalarnym \( \left(u,v\right)H^1_0(\Omega) = \int_{\Omega} \left( \frac{du(x_1,x_2)}{dx_1}\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_1}+\frac{du(x_1,x_2)}{dx_2}\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_2}\right)dx_1dx_2 \)
gdzie operator śladu oznacza określanie wartości funkcji na brzegu, co w przypadku funkcji będących elementami przestrzeni Sobolewa wymaga wprowadzania klas równoważności funkcji równych co do wartości całki.